Soru

Uzayda verilen \(A(4,2,2)\) noktasından geçen koordinat düzlemlerinin üçüne de teğet olan kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm

\(A\) noktası uzayda düzlemlerin oluşturduğu 8 bölgeden koordinatlarının tümü pozitif olan bölgede olduğundan ve bahsi geçen küreler her üç düzleme de teğet olacağından merkez koordinatları da bu bölgede olmalıdır. Ayrıca küre düzlemlere teğet olduğundan merkezin düzlemlere uzaklıkları eşit ve doğaldır ki yarıçap kadar olmalıdır. O halde merkeze \(M(a,a,a)\) ve \(R=a\) diyebiliriz.

\(|MA|=R\) olacağından $$(a-4)^2+(a-2)^2+(a-2)^2=a^2$$ dir. Bu denklemden \(a=2\) ve \(a=6\) bulunur. O halde iki küremiz var ve merkezleri sırasıyla \(M_1=(2,2,2)\) ve \(M_2=(6,6,6)\) dır. Merkezler arasındaki uzaklık $$|M_1M_2|=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{3}$$ bulunur. Aşağıdaki 3 boyutlu şekli incelerseniz görsel canlandırmayı rahatlıkla yapabilirsiniz.