3 durumu bu denklemle özetleyebiliriz:
1. Eğer \(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{u}>\neq 0\) ise bu eşitlik bize bir tek \(k\) değeri verir. Yani doğru ile düzlem tek bir noktada kesişir.
Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!
2. Eğer \(<\overrightarrow{N},\overrightarrow{u}>=0\) ise bu vektörlerin birbirine dik olduğunu yani şekildeki gibi ya doğru düzleme paraleldir ya da düzlemin içindedir.
Doğrunun düzleme ait olması için ise \((1)\). eşitlikte payın da sıfır olması gerekir. Yani \(Ax_0+By_0+Cz_0+D=0\) olursa \(k\) herhangi bir gerçek sayı alınabilir çünkü \((1)\). eşitlikte içler dışlar çarpımı yapılırsa \(k\) ne olursa olsun \(k.0=0\) olacaktır.
Örnek 1
\(2x+y-2z-14=0\) düzlemi ile \(\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z}{-5}\) doğrusunun birbirine göre durumunu inceleyiniz.
Çözüm
Doğru denklemini bir \(k\in R\) parametresine bağlı yazalım: $$\begin{matrix}\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-1}{-3}=\dfrac{z}{-5}=k\\ \Rightarrow x=4k-1\\\Rightarrow y=-3k+1\\\Rightarrow z=-5k\end{matrix}$$ olur. Şimdi düzlem denkleminde bunları yerine yazalım: $$\begin{matrix}2(4k-1)+(-3k+1)-2(-5k)-14=0\\\Rightarrow 15k-15=0\\\Rightarrow k=1 \end{matrix}$$ bulunur. O halde \(k=1\) için \(x=3\), \(y=-2\) ve \(z=-5\) olacak biçimde doğru ile düzlem bir \(A(3,-2,-5)\) noktasında kesişirler.
Tek bir noktada kesişen doğru ve düzlem arasında bir açı oluşacaktır. Şimdi açıklama kısmında verdiğimiz eşitlikten bu açının sinüs değerini bulalım. Düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}=(2,1,-2)\) ve doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}=(4,-3,-5)\) olduğundan $$sin\theta=\dfrac{2.4+1.(-3)-2.(-5)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}.\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ bulunur. O halde doğru ile düzlem arasındaki açının ölçüsü \(\theta=45^{\circ}\) olur.
Aşağıdaki videoda durumu daha detaylı görebilirsiniz.
Örnek 2
\(x-4y+z-1=0\) düzlemi ile \(\dfrac{x+1}{2}=y+3=\dfrac{z-2}{2}\) doğrusunun birbirine göre durumunu inceleyiniz.
Çözüm
Bir \(k\in R\) için doğrunun parametrik denklemini $$\begin{matrix}x=2k-1\\ y=k-3\\z=2k+2\end{matrix}$$ olur. Düzlem denkleminde yerine yazalım $$\begin{matrix}2k-1-4(k-3)+2k+2-1=0\\ \Rightarrow 12=0\end{matrix}$$ elde edilir. Matematiksel olarak doğru olmayan bu ifadenin tek bir anlamı vardır. Doğru ile düzlem kesişmemektedir. Yani doğru düzleme paraleldir. (Düzlemin normal ve doğrunun doğrultu vektörlerinin iç çarpımını da hesaplarsanız \(0\) olduğunu görebilirsiniz, fakat bu durum doğrunun, düzlemin bir doğrusu olup olmadığı hakkında bilgi vermez.)
Örnek 3
\(x-2z=a;\; y=3\) doğrusu \(3x+y-bz+6=0\) düzleminin bir doğrusu olduğuna göre \(a+b\) toplamını bulunuz.
Çözüm
Öncelikle vektörleri bulalım çünkü iç çarpımları \(0\) olmak zorunda. Düzlemin normal vektörü \(\overrightarrow{N}=(3,1,-b)\) ve doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}=(2,0,1)\) dir. O halde $$\begin{matrix}<\overrightarrow{N},\overrightarrow{u}>=0\\\\ \Rightarrow 6-b=0 \\\\\Rightarrow b=6\end{matrix}$$ bulunur. Şimdi doğruyu parametrik yazalım fakat diğer sorularda olduğu gibi bir \(k\in R\) ile değil de $$\begin{matrix}z=z\\y=3\\x=2z+a \end{matrix}$$ olarak \(z\) ye bağlı yazalım. Doğru düzlemin bir doğrusu olduğu için bu değerler düzlem denklemini sağlamalıdır: $$\begin{matrix}3(2z+a)+3-6z+6=0\\\\ \Rightarrow 3a+9=0\\\\\Rightarrow a=-3\end{matrix}$$ bulunur. O halde $$a+b=-3+6=3$$ olur.
Yorumlar
RSS beslemesi, bu iletideki yorumlar için