Paralellik koşulu gereği 

$$\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{B_1}{B_2}=\dfrac{C_1}{C_2}\neq \dfrac{D_1}{D_2}\Rightarrow E_1\parallel E_2$$ olacağından

$$\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\neq \dfrac{-1}{1}$$ olur.

\(\dfrac{2}{m}=\dfrac{-3}{6}\) eşitliğinden \(m=-4\) ve

\(\dfrac{-3}{6}=\dfrac{k}{1-k}\) eşitliğinden \(k=-1\) bulunur.

Birbirine dik olan düzlemlerin şekildeki gibi normal vektörleri de birbirine dik olacaktır. Bu nedenle diklik koşulu gereği

$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0$$

\(E_1\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_1}=(2,3,4)\) ve

\(E_2\) düzleminin normal vektörü \(\overrightarrow{N_2}=(m,m-1,m-2)\) olduğundan

$$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0\Rightarrow 2m+3(m-1)+4(m-2)=0$$ yani

$$2m+3m-3+4m-8=0\Rightarrow m=\dfrac{11}{9}$$

Konu kısmında bahsettiğimiz üzere arakesit doğrusunun doğrultu vektörü düzlemlerin normal vektörlerinin dış çarpımıyla elde edilebilir.

\(\overrightarrow{N_1}=(-1,1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(2,-1,1)\) olur. Doğrunun doğrultu vektörüne \(\overrightarrow{u}\) diyelim. Bu durumda

$$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{N_1}\times \overrightarrow{N_2}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\-1 &1  &2 \\ 2 &-1  &1 \end{vmatrix}=(3,5,-1)$$ bulunur. Doğrunun denklemini yazabilmek için her iki düzleme de ait olan bir nokta bulmalıyız. Bu noktaya \(A(x,y,z)\) diyelim ve \(z=0\) alalım. Düzlem denklemlerinde yerine yazarsak

$$\begin{matrix}-x+y=-1\\ 2x-y=2\end{matrix}$$ denklemleri elde edilir. Bu denklemler ortak çözülürse \(x=1\) ve \(y=0\) olur. Demek ki \(A(1,0,0)\) noktası düzlemlerin arakesit doğrusu üzerindedir. O halde bir \(k\in R\) ve doğrunun herhangi bir \(P(x,y,z)\) noktası için doğrunun vektörel denklemi

$$P=A+k.\overrightarrow{u}\Rightarrow (x,y,z)=(1,0,0)+k(3,5,-1)$$ olurken kartezyen denklemi de

$$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{-1}$$ olur.

Aşağıdaki 3 boyutlu şekilde durumu inceleyiniz.

Seçilen kümenin eleman sayısı \(r\) olduğuna göre \(r\) elemanlı alt kümelerin sayısı

$$\binom{n}{r}$$ olur.

Bu kümelerden \(r\) ninci elemanı içeren herhangi biri \(B\) olsun. Bu eleman dışında, \(B\) kümesinin eleman sayısını \(r\) ye tamamlayabilmek için, \(A\) kümesinde geriye kalan \(n-1\) elemandan \(r-1\) eleman daha seçmeliyiz. O halde içinde \(r\) ninci eleman bulunan \(r\) elemanlı kümelerin sayısı

$$\binom{n-1}{r-1}$$ olur.

O halde istenilen olasılık

$$P=\dfrac{\dbinom{n-1}{r-1}}{\dbinom{n}{r}}=\dfrac{(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!}.\dfrac{(n-r)!r!}{n!}=\dfrac{r}{n}$$ bulunur.

\(P\) noktası doğru denklemini sağlamadığı için doğru dışındadır. Doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{u}=(2,1,2)$$ dir. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlikleri \(0\) yapan değerleri alırsak

$$A(1,-1,3)$$ olur. Böylece

$$\overrightarrow{AP}=(1,2,-2)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden

$$\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\1 &2  &-2 \\ 2 &1  &2 \end{vmatrix}=(6,-6,-3)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek

$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{6^2+(-6)^2+(-3)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=3$$ bulunur.

Öncelikle \(O\) noktasının doğruya olan uzaklığını bulalım.

Doğrunun doğrultu vektörünü, verilen denklem yapısında hemen görmek mümkün değil. Biraz daha aşina olduğumuz düzene getirmek için birkaç işlem yapalım. Öncelikle verilen \(3x+2z=6\) eşitliğinin her iki tarafını da \(6\) ya bölelim.

$$\dfrac{x}{2}+\dfrac{z}{3}=1$$ olur. Şimdi her iki taraftan da \(\dfrac{z}{3}\) çıkarıp eşitliğin sağ tarafında payda eşitleyelim:

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3}$$ olur. O halde doğrunun denklemini

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3};y=2$$ biçiminde yazabiliriz. Demek ki doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{u}=(2,0,-3)$$ olur. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlliği \(0\) yapan değerleri alırsak

$$A(0,2,3)$$ olur. Böylece

$$\overrightarrow{AO}=(0,-2,-3)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden

$$\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &-2  &-3 \\ 2 &0  &-3 \end{vmatrix}=(-6,-6,-4)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek

$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{(-6)^2+(-6)^2+(-4)^2}}{\sqrt{2^2+0+(-3)^2}}=\sqrt{\dfrac{88}{13}}$$ bulunur.

Doğrunun \(O\) noktasına en yakın noktası şekildeki gibi \(H\) olsun. \(\overrightarrow{AO}\) nün \(\overrightarrow{u}\) üzerine iz düşüm vektörü \(\overrightarrow{AH}\) olacaktır. O halde

$$\overrightarrow{AH}=\dfrac{<\overrightarrow{AO},\overrightarrow{u}>}{||\overrightarrow{u}||^2}.\overrightarrow{u}=\dfrac{9}{13}.\overrightarrow{u}=(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})$$ olur. Böylece

$$H=A+\overrightarrow{AH}=(0,2,3)+(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})=(\dfrac{18}{13},2,\dfrac{12}{13})$$ bulunur.

Öncelikle doğrunun doğrultu vektörünü yazalım.

\(A(2,0,0)\) ve \(B(0,4,4)\) olacağından doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,4,4)$$ alınabilir.

Ayrıca şekildeki gibi \(C(2,0,4)\) noktasının doğruya olan uzaklığı \(|CH|\) olacaktır. 

$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}$$ olacağından öncelikle

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,4)$$ olur.

$$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &0  &4 \\ -2 &4  &4 \end{vmatrix}=(-16,-8,0)$$ olur. 

O halde

$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}=\dfrac{\sqrt{(-16)^2+(-8)^2+0}}{\sqrt{(-2)^2+4^2+4^2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.

Şekildeki gibi \([CB]\) çizilirse, \([AC]\), \((CEBD)\) düzlemine dik olduğu için bu düzlemdeki \([CB]\) na da dik olacaktır. O halde \(ACB\) bir dik üçgendir. \(|CD|=2\) ve \(|DB|=4\) olduğundan \(CDB\) dik üçgeninde \(|CB|=2\sqrt{5}\) bulunur. Benzer biçimde \(|AC|=4\) olduğundan \(ACB\) dik üçgeninde \(|AB|=6\) bulunur. O halde alan eşitliğinden

$$|AC|.|CB|=|AB|.|CH|$$ olacağından

$$|CH|=\dfrac{|AC|.|CB|}{|AB|}=\dfrac{4.2\sqrt{5}}{6}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.