$z = \cos x + i \cdot \sin x$ için ${z^{ - 1}} = \cos (x) - i \cdot \sin (x)$ olacağından, \[z + {z^{ - 1}} = 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \] dir. Bu durumda, \[{(z + {z^{ - 1}})^{2k}} = {2^{2k}} \cdot {\cos ^{2k}}x \quad (1)\] olur. Öte yandan sol tarafa binom açılımı uygulanırsa, \[{(z + {z^{ - 1}})^{2k}} = \sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right){z^{2k - r}} \cdot {z^{ - r}}} \right)}  = \sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right){z^{2(k - r)}}} \quad (2)\] dir.

Bu ifadede, ${z^{2(k - r)}} = \cos \left( {2(k - r)x} \right) + i \cdot \sin \left( {2(k - r)x} \right)$ dikkate alınır ve $(1)$ ve $(2)$ birlikte düşünülürse, \[{2^{2k}} \cdot {\cos ^{2k}}x = \sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right)\cos \left( {2(k - r)x} \right)}  + i \cdot \sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right)\sin \left( {2(k - r)x} \right)} \] olur. Karmaşık sayıların eşitliği gereği, sol tarafta sanal kısım olmadığından, $\sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right)\sin \left( {2(k - r)x} \right)}  = 0$ dır.

Böylece, \[{2^{2k}} \cdot {\cos ^{2k}}x = \sum\limits_{r = 0}^{2k} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
r
\end{array}} \right)\cos \left( {2(k - r)x} \right)} \quad (3) \] olur. Dikkat edilirse $k \ne r$ için, \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2(k - r) \cdot x)} dx = \left. {\left( {\frac{1}{{2(k - r)}}\sin (2(k - r) \cdot x)} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 0 \quad (4)\] dir.

$k = r$ için ise, \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos (2(k - r) \cdot x)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {1 \cdot } dx = \frac{\pi }{2} \quad (5)\] dir.

Bu durumda, $(3)$ te her iki tarafın da $0$ dan $\dfrac{\pi }{2}$ ye integrali alınırsa, \[{2^{2k}} \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{2}\] elde edilir. Böylece, \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}\] bulunur.

Verilen önermenin ispatını tümevarım yöntemi ile gösterelim. \[D(k){\rm{ }} = {\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}} \] olmak üzere,

\[\begin{align*}
D(1) & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx} \\
& = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} \right)dx} \\
& = \left. {\left[ {\frac{x}{2} + \frac{{\sin 2x}}{4}} \right]} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\
& = \frac{\pi }{4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^3}}}
\end{align*}\]

 doğrudur. Şimdide, \[D(k) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}} \quad (1) \] önermesinin doğruluğunu kabul edip, \[D(k + 1) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k + 2}}xdx = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k + 2}\\
{k + 1}
\end{array}} \right).\frac{\pi }{{{2^{2k + 3}}}}} \quad (2)\] önermesinin doğruluğunu gösterelim. Bunun için \[\int {{{\cos }^n}xdx = } \frac{1}{n}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + \frac{{n - 1}}{n}\int {{{\cos }^{n - 2}}xdx}\] indirgeme formülünden yararlanacağız. Bu formüle göre, \[\begin{align*}
D(k + 1) & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k + 2}}xdx} \\
 &  = \overbrace {\left. {\left( {\frac{1}{{2k + 2}}\sin x{{\cos }^{(2k + 1)}}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}}^U + \overbrace {\frac{{2k + 1}}{{2k + 2}} \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx} }^V
\end{align*}\] yazılabilir. \[u = \left. {\left( {\frac{1}{{2k + 2}} \cdot \sin x{{\cos }^{(2k + 1)}}x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = {\rm{ }}0\] olur. Ayrıca, $v$ ifadesinde $(1)$ numaralı eşitlik kullanılırsa, \[v = \frac{{2k + 1}}{{2k + 2}} \cdot \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx}  = \frac{{2k + 1}}{{2k + 2}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
{k}
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k+1}}}}\] dir. \[\begin{align*}
D(k + 1) & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k + 2}}xdx} \\
 &  = v\\
 &  = \dfrac{{2k + 1}}{{2k + 2}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \dfrac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}\\
 &  = \dfrac{{2k + 1}}{{2(k + 1)}} \cdot \dfrac{{(2k)!}}{{k!.k!}} \cdot \dfrac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}
\end{align*}\] eşitliği $\dfrac{{2k + 2}}{{2(k + 1)}}$ ile genişletirsek, \[\begin{align*}
D(k + 1) & = \dfrac{{2k + 2}}{{2(k + 1)}} \cdot \dfrac{{2k + 1}}{{2(k + 1)}} \cdot \dfrac{{(2k)!}}{{k!.k!}} \cdot \dfrac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}\\
 &  = \dfrac{{(2k + 2)!}}{{(k + 1)!(k + 1)!}} \cdot \dfrac{\pi }{{4 \cdot {2^{2k + 1}}}}\\
 &  = {\rm{ }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k + 2}\\
{k + 1}
\end{array}} \right) \cdot \dfrac{\pi }{{{2^{2k + 3}}}}
\end{align*}\] olur. Böylece (2) numaralı eşitlik doğrulanmış olur. Tümevarım gereği ispat tamamlanmıştır.

 Verilen integral, \[\begin{align*}
{I_{2k}} & = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx} \\
 &  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}x(1 - {{\sin }^2}x)dx} \\
 &  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}xdx}  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}x{{\sin }^2}xdx} \\
 &  = {I_{2k - 2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}x{{\sin }^2}xdx}
\end{align*}\] olur. \[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}x{{\sin }^2}xdx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k - 2}}x\sin x \cdot \sin xdx} \] yazılır ve \[u = \sin x \Rightarrow dx = \cos xdx\] \[dv = {\cos ^{2k - 2}}x\sin xdx \Rightarrow v =  - \frac{1}{{2k - 1}}{\cos ^{2k - 1}}x\] ile kısmi integral alınırsa, \[\begin{align*}
{I_{2k}} & = {I_{2k - 2}} - \left[ {\left. {\left( {\frac{1}{{2k - 1}}{{\cos }^{2k - 1}}x\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \frac{1}{{2k - 1}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^{2k}}xdx} } \right]\\
 &  = {I_{2k - 2}} - \frac{1}{{2k - 1}} \cdot {I_{2k}}
\end{align*}\] olur. Bu eşitlikten, ${I_{2k}} = \left( {\frac{{2k - 1}}{{2k}}} \right) \cdot {I_{2k - 2}}$ indirgemesine ulaşırız. O halde, \[{I_{2k}} = \frac{{2k - 1}}{{2k}} \cdot \frac{{2k - 3}}{{2k - 2}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{3}{4} \cdot {I_2}\] olur. ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}xdx}  = \frac{\pi }{4}$ yerine yazılırsa, \[{I_{2k}} = \frac{{2k - 1}}{{2k}} \cdot \frac{{2k - 3}}{{2k - 2}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\pi }{4}\] olur. Payda 2 parantezine alınırsa, \[\begin{align*}
{I_{2k}} & = \frac{{2k - 1}}{k} \cdot \frac{{2k - 3}}{{k - 1}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\\
 &  = \frac{{(2k - 1)(2k - 3) \cdot  \cdot  \cdot 3}}{{k!}} \cdot \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} \end{align*}\] olur. Eşitliğin sağ tarafında pay ve paydayı $2k(2k - 2)(2k - 4) \cdot  \cdot  \cdot 2 = {2^k} \cdot k!$ ile çarparsak, \[\begin{align*}
{I_{2k}} & = \frac{{2k(2k - 1)(2k - 2)(2k - 3) \cdot  \cdot  \cdot 3 \cdot 2}}{{{2^k}k! \cdot k!}} \cdot \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\\
 &  = \frac{{(2k)!}}{{k! \cdot k!}} \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}\\
 &  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2k}\\
k
\end{array}} \right) \cdot \frac{\pi }{{{2^{2k + 1}}}}
\end{align*}\] ile kanıt tamamlanır.

13/01/2015 tarihinde verilecektir.

Şekildeki gibi bir sekizyüzlü düşünelim. Faremiz $X$ noktasına bırakılsın. Dolayısıyla $Y$ noktasına geldiğinde labirentten çıkmış olacaktır. Farenin $X$ noktasındayken labirentten ortalama çıkma (labirentten ortalama kurtulma) süresine $x$ diyelim. Benzer biçimde, fare $A$ noktasındayken labirentten ortalama çıkma süresine de $a$ diyelim. Dikkat edilirse, $B$, $C$ ve $D$ noktaları için de ortalama çıkma süresi $A$ noktası ile aynı yani $a$ olacaktır. Tekrar $X$ noktasına geri dönelim. Bu noktadan $\dfrac{1}{4}$ er ihtimalle $A$, $B$, $C$ ve $D$ noktalarına gidebilir. O halde, \[x = \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) + \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) + \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) + \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) = a + t\] dir. Eklenen $t$ süreleri $X$ den diğer noktalara geçmek için kullanılan ayrıtlardan kaynaklanmaktadır. Şimdi aynı mantıkta $A$ noktasını düşünelim.

• $\dfrac{1}{4}$ olasılıkla $B$ ye gidebilir. Ayrıtta geçen $t$ süre ve $B$ den ortalama çıkma süresi eklenince: $\dfrac{1}{4}(a + t)$ olur.
• $\dfrac{1}{4}$ olasılıkla $D$ ye gidebilir. Ayrıtta geçen $t$ süre ve $D$ den ortalama çıkma süresi eklenince: $\dfrac{1}{4}(a + t)$ olur.
• $\dfrac{1}{4}$ olasılıkla $X$ e gidebilir. Ayrıtta geçen $t$ süre ve $X$ den ortalama çıkma süresi eklenince: $\dfrac{1}{4}(a + 2t)$ olur.
• $\dfrac{1}{4}$ olasılıkla $Y$ ye gidebilir. Ayrıtta geçen $t$ süre eklenince: $\dfrac{1}{4}(t)$ olur.

O halde, $A$ noktasından ortalama çıkma süresi \[a = \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) + \frac{1}{4}\left( {a + t} \right) + \frac{1}{4}\left( {a + 2t} \right) + \frac{1}{4}t\] dir. Bu denklemden \[a = 5t\] bulunur. Böylece, \[x = a + t = 5t + t = 6t\] elde edilir.