Belirli integralin sınır değerlerini yerine yazmadan önce, mevcut integrale belirsiz biçimde yaklaşarak kuralı elde edelim (+c sabitleri ihmal edilmiştir). Öncelikle, \[g(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f(x)}}{{x - k}}}  = f(x) \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} + ... + \frac{1}{{x - n}}} \right)\] olacaktır. Bu eşitlikte \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} + ... + \frac{1}{{x - n}} = h(x)\] alınırsa, $g(x) = f(x) \cdot h(x)$ dir. Bu durumda, $\displaystyle \int {g(x)dx}  = \int {f(x)h(x)dx} $ olur. Kısmi integral uygulayalım: $f(x) = u$ ve $h(x)dx = dv$ olsun. $f'(x)dx = du$ ve $v = \ln \left( {\left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 2} \right)...\left( {x - n} \right)} \right) = {\mathop{\rm lnf}\nolimits} (x)$ olur. Böylece, \[\int {f(x)h(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \int {\ln \left( {f(x)} \right)f'(x)dx} \] olur. Sağ tarafta kalan integralde tekrar kısmi integral alalım. $\ln f(x) = u$ ve $f'(x)dx = dv$ olursa; $\dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = du$ ve $f(x) = v$ olur. Yerine yazılırsa, \[\int {\ln \left( {f(x)} \right)f'(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \int {f(x)\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - f(x)\] elde edilir. Böylece, \[\int {f(x)h(x)dx}  = f(x) \cdot \ln f(x) - \left( {f(x) \cdot \ln f(x) - f(x)} \right) = f(x)\] bulunur. O halde, \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = \left. {f(x)} \right|_0^{n + 1} = f(n + 1) - f(0)\] olur. $n$ nin çift olması durumunda \[f(n + 1) = f(0) = n!\] olacağından \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = 0\] olur. $n$ nin tek olması durumunda ise, \[f(n + 1) = n!\ \quad \quad f(0) =  - n!\] olacağından \[\int\limits_0^{n + 1} {g(x)dx}  = 2n!\] bulunur. (Soruda $f$ fonksiyonunun türevinin bir başka biçiminin $g$ fonksiyonunun en sade hali olduğu anlaşılmaktadır. Sorunun kurgusunuda bu gerçek üzerine yapmıştım.)