Watewatik

2.1.8 Paralel düzlemler arasındaki uzaklık

Bu dersimizde paralel düzlemler arasındaki uzaklığı hesaplayacağız. Aslında önceki dersimizin son örneğinde kısmen giriş yapmıştık.

Paralel Düzlemler Arası Uzaklık

Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!

\(R^3\) te şekildeki gibi birbirine paralel $$E_1:Ax+By+Cz+D_1=0$$ ve $$E_2:Ax+By+Cz+D_2=0$$ düzlemleri verilsin. Her iki düzleminde normal vektörünün \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğuna dikkat edin. \(A(x_1,y_1,z_1)\) ve \(B(x_2,y_2,z_2)\) noktaları sırasıyla \(E_1\) ve \(E_2\) düzlemlerine ait olsun. Denklemlerde yerine yazarsak

$$Ax_1+By_1+Cz_1+D_1=0\Rightarrow (Ax_1+By_1+Cz_1)=-D_1$$
ve
$$Ax_2+By_2+Cz_2+D_2=0\Rightarrow (Ax_2+By_2+Cz_2)=-D_2$$
olur. Şekilden görüleceği üzere düzlemler arası uzaklık \(\overrightarrow{AB}\) nün \(\overrightarrow{N}\) üzerine iz düşüm vektörü olan \(\overrightarrow{AR}\) nün uzunluğudur. Yani uzaklığı \(d(E_1,E_2)\) ile gösterirsek

$$d(E_1,E_2)=\left |\dfrac{<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>}{||\overrightarrow{N}||}  \right |$$ olacaktır. Şimdi önce iç çarpımı hesaplayalım:

\(\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\) ve \(\overrightarrow{N}=(A,B,C)\) olduğundan $$\begin{matrix}<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=Ax_2+By_2+Cz_2-(Ax_1+By_1+Cz_1)\\ \\ \Rightarrow <\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>=D_1-D_2 \end{matrix}$$ olur.

O halde
$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | D_1-D_2  \right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
bulunur.

Örnek 1

\(R^3\) te \(E_1:2x-y+2z-5=0\) ve \(E_2:2x-y+2z+4=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm

Düzlemlerin birbirine paralel olduğu açıktır. Doğrudan yukarıdaki formülü kullanabilme üzerine bir örnek olduğundan

$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -5-4  \right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\dfrac{9}{3}=3$$ bulunur. 

Örnek 2

\(R^3\) te \(E_1:2x-2y+2z-7=0\) ve \(E_2:-x+y-z+8=0\) düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm

\(E_2\) düzleminin denklemini \(-2\) ile genişletirsek \(E_2:2x-2y+2z-16=0\) olur ve \(E_1\) ile paralel olduğu görülür. O halde

$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | -7-(-16)  \right|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}}=\dfrac{9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$$ bulunur. 

Örnek 3

Düzlemler arası uzaklık \(R^3\) te şekildeki gibi eksenleri kestikleri noktaların ilgili koordinatları verilen düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm

Düzlemlerin denklemlerini bulalım. 

$$E_1:\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}+\dfrac{z}{3}=1\Rightarrow E_1:3x+6y-2z+6=0$$

$$E_2:\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{-3}=1\Rightarrow E_2:3x+6y-2z-6=0$$ olur. O halde

$$d(E_1,E_2)=\dfrac{\left | 6-(-6)  \right|}{\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}}=\dfrac{12}{7}$$ bulunur. 

Video burada görüntülenecektir.
Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(9 oy)
1 yorum
  • elif

    teşekkür ederim yarın lys sınavım var çok yardımcı oldunuz allah yardımcı olsun.

    elif Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon