Watewatik

2.1.9 İki düzlem arasındaki açı

Bu dersimizde denklemleri verilen iki düzlem arasında oluşan açıyı inceleyeceğiz. Kesişen iki düzlem arasında iki açı oluşur. 

Paralel Düzlemler Arası Uzaklık

Şekildeki gibi düzlemler dik kesişmiyorlarsa, aralarında oluşan açılardan biri dar diğeri geniş açı olacaktır. Oluşan dar açıya bu iki düzlem arasındaki açı denir. Şekilde bu açının ölçüsü \(\theta\) olarak verilmiştir. Şimdi bu ölçüyü nasıl hesaplayacağımıza gelelim.

Paralel Düzlemler Arası Uzaklık

Bu şeklin üç boyutlu Cabri versiyonu için tıklayın!

Şekildeki gibi kesişen düzlemlerin normal vektörlerini çizersek normal vektörleri arasında kalan açı ile düzlemler arasında kalan açının aslında bütünler açılar olduğunu görebiliriz. Bu nedenle düzlemler arasındaki açının ölçüsünü hesaplamak aslında normal vektörleri arasındaki açının ölçüsünü hesaplamakla aynı şeydir. Yani şekle göre 

$$cos(\pi-\theta)=\dfrac{<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>}{||\overrightarrow{N_1}||||\overrightarrow{N_2}||}$$ dir. Düzlemler arasındaki açıyı, oluşan açılardan dar olanı olarak tanımladığımızdan elde ettiğimiz bu eşitliği $$cos\theta=\dfrac{|<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>|}{||\overrightarrow{N_1}||||\overrightarrow{N_2}||}$$ biçiminde düzenleyerek \(\theta\) değerini (en azından kosinüs değerini) bulabiliriz.

Örnek 1

\(E_1:2x-y+2z-3=0\) düzlemi ile \(E_2: 4x+3y+5z-1=0\) düzlemi arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözüm

Düzlemler arasındaki açının ölçüsüne \(\theta\) diyelim. \(\overrightarrow{N_1}=(2,-1,2)\) ve \(\overrightarrow{N_2}=(4,3,5)\) olduğundan $$cos\theta=\dfrac{|<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>|}{||\overrightarrow{N_1}||||\overrightarrow{N_2}||}=\dfrac{|2.4-1.3+2.5|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\sqrt{4^2+3^2+5^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$ olur.

O halde \(\theta=45^{\circ}\) bulunur.

Örnek 2

\(E_1:x-4y+z=3\) düzlemi ile \(E_2:kx+y-5z=3\) düzlemi birbirine dik olduğuna göre \(k\) kaçtır?

Çözüm

Düzlemler birbirine dik olduğuna göre aralarındaki açının ölçüsü \(90^{\circ}\) dir. Yani normal vektörleri de birbirine diktir. Vektörlerde diklik koşulu gereği iç çarpımları \(0\) olmalıdır. İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(1,-4,1)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(k,1,-5)\) dir. O halde $$<\overrightarrow{N_1},\overrightarrow{N_2}>=0 \Rightarrow 1.k-4.1+1.(-5)=0 \Rightarrow k=9$$ bulunur.

Örnek 3

\(E_1:3x+4y-5z=1\) düzlemi ile \(E_2:-x+ky=10\) düzlemi arasındaki açının ölçüsü \(60^{\circ}\) olduğuna göre \(k\) gerçek sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

Çözüm

İlk düzlem için \(\overrightarrow{N_1}=(3,4,-5)\), ikinci düzlem için \(\overrightarrow{N_2}=(-1,k,0)\) dır. O halde $$cos60^{\circ}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{|4k-3|}{5\sqrt{2(k^2+1)}}$$ olur. Her iki tarafında karesini alıp gerekli düzenlemeyi yaparsak $$7k^2-48k-7=0$$ denklemi elde edilir. Bu denklemden \(k=7\) veya \(k=-\dfrac{1}{7}\) bulunur. Çarpımları da \(-1\) yapar. Elde ettiğimiz denklemin köklerinin gerçek olduğunu tespit ettikten sonra(?)Δ>0 olmalı kökler çarpımı formülünden de bu cevabı bulabilirdik.

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(11 oy)
1 yorum
  • Onur

    Ben Matematikçi değilim fakat uğraştığım yazılım gereği matematikle ilgileniyorum. Gerçekten faydalı bir site yapmışsınız. Günümüzde matemetiği sadece teorem ezberle sınıfı geç mantığıyla okuyan insanların örnek alması gereken birisiniz. Sizi tebrik ediyor çalışmalarınızda başarılar diliyorum.

    Onur Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon