Watewatik

2.1.11 İki doğrunun durumları

Bu dersimizde verilen iki doğrunun birbirine göre nasıl durduğunu inceleyeceğiz. Durumları hatırlayalım: uzayda iki doğru
  • tek bir noktada kesişebilirler
  • paralel olabilirler
  • eş olabilirler (çakışma)
  • aykırı doğrular olabilirler.

Öncelikle, \(k_1,k_2 \in R\) olmak üzere, elimizde denklemleri $$d_1:X=A+k_1.\overrightarrow{u_1}$$ ve $$d_2:X=B+k_2.\overrightarrow{u_2}$$ olan iki doğru olsun. Biliyoruz ki aykırı doğrular aynı düzlemde yer almayan doğrulardır. Bu nedenle iki doğrunun tek bir noktada kesişebilmesi için en azından aynı düzlemde yer almaları gerekir. Tabii bu durum tek bir noktada kesişmeleri için yeterli değildir, ama gereklidir. Eğer verilen doğrular düzlemsel ise,

Doğru düzlem kesişimi 1

şekildeki gibi doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{u_1}\) ve \(\overrightarrow{u_2}\) ile \(A\) ve \(B\) nin belirteceği \(\overrightarrow{AB}\) bu düzlemin vektörleri olacaktır. Yani bu üç vektör lineer bağımlı olacaktır. O halde bu vektörlerin belirteceği determinantın değeri \(0\) olmalıdır. Özetle, bu üç vektörün belirteceği determinant (veya \(<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}>\))
  • \(0\)  ise doğrular ilk üç durumdan birini sağlar.
  • \(0\) değilse doğrular aykırı doğrulardır.

Şimdi vektörlerin lineer bağımlı olduğunu varsayalım ve ilk üç durumu inceleyelim. Aynı düzlemde bulunan farklı doğruların tek bir noktada kesişmesi paralel olmamalarını gerektirir. Bu da doğruların doğrultu vektörlerinin lineer bağımsız olmasını gerektirecektir. O halde verilen iki doğrunun

Doğru düzlem kesişimi 1

şekildeki gibi tek bir noktada kesişmesi için \(\overrightarrow{u_1}\) ve \(\overrightarrow{u_2}\) lineer bağımsız olmalıdır.

Eğer bu iki vektör lineer bağımlı ise doğrular ya paraleldir ya da eş doğrulardır.

Doğrular eş doğrular ise

Doğru düzlem kesişimi 1

şekildeki gibi \(\overrightarrow{AB}\) doğaldır ki \(\overrightarrow{u_1}\) veya \(\overrightarrow{u_2}\) cinsinden ifade edilebilir. Yani doğrultu vektörlerinden herhangi biri ile \(\overrightarrow{AB}\) lineer bağımlıdır.

Doğrular paralel ise

Doğru düzlem kesişimi 1

şekildeki gibi doğrultu vektörlerinden herhangi biri ile \(\overrightarrow{AB}\) lineer bağımsızdır.

Bu durumlar dışında iki doğrunun birbirine dik kabul edilişi doğrultu vektörlerinin birbirine dik olmasına bağlıdır. (Uzayda doğruların birbirine dik olması için kesişmeleri gerekmemektedir. MEB bu şekilde ifade etmiştir.) Aslında kesişmeyen ama doğrultu vektörleri birbirine dik olan doğrulara dik durumlu doğrular denmektedir. Fakat bu detay göz ardı edilmiştir.

Örnek 1

\(d_1:X=(1,1,2)+k(1,0,2)\) ve \(d_2:X=(1,0,1)+m(2,-3,1)\) doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz.

Çözüm

İlk bakışta \(\overrightarrow{u_1}=(1,0,2)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(2,-3,1)\) nün lineer bağımsız olduğu görülmektedir. Yani bu doğrular ya aykırıdır ya da tek bir noktada kesişecektir. Lafı fazla dolandırmadan temel çözüm mantığı olan ortak çözümle işleme başlayalım:$$(1,1,2)+k(1,0,2)=(1,0,1)+m(2,-3,1)$$ eşitliğinden $$\begin{matrix}2m-k=0\\ -3m=1\\ m-2k=1\end{matrix}$$ eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerden ikincisinden \(m=-\dfrac{1}{3}\) olur. Bunu birincide yerine yazarsak \(k=-\dfrac{2}{3}\) bulunur. Bu çözümde dikkat edilmesi gereken, ilk iki denklemden bulduğumuz bu değerlerin, üç denklemden oluşan sistemin, her denklemini sağlaması gerektiğidir. Denklemlerin tümü sağlanmıyorsa doğruların ortak bir noktası olmayacaktır. Bulduğumuz \(k\) ve \(m\) değeri üçüncü denklemi de sağladığı için doğrular tek bir noktada kesişmektedir. Şimdi bu noktayı bulalım \(m=-\dfrac{1}{3}\) için ikinci doğru denleminden $$X=(1,0,1)- \dfrac{1}{3}(2,-3,1)=(\dfrac{1}{3},1,\dfrac{2}{3})$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

Örnek 2

\(d_1:X=(1,2,3)+k(-1,a,1)\) ve \(d_2:X=(-1,-2,0)+m(0,2,1)\) doğruları tek bir noktada kesiştiğine göre bu noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm

Öncelikle ilk doğrunun geçtiği sabit noktaya \(A(1,2,3)\) ve diğerinin geçtiği sabit noktaya \(B(-1,-2,0)\) diyelim. Böylece \(\overrightarrow{AB}=(-2,-4,-3)\) olur. Ayrıca \(\overrightarrow{u_1}=(-1,a,1)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(0,2,1)\) dir. Doğrular tek bir noktada kesiştiğine göre bu üç vektör lineer bağımlıdır. O halde $$\begin{vmatrix}-2 &-4  &-3 \\ -1 &a  &1 \\ 0 &2  &1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow a=3$$ bulunur. Artık bir önceki örnekte olduğu üzere ortak çözüm yapabiliriz. $$\begin{matrix}(1,2,3)+k(-1,3,1)=(-1,-2,0)+m(0,2,1)\\ \Rightarrow k=2\quad \wedge \quad m=5  \end{matrix}$$ bulunur. Herhangi birini yerine yazarsak ortak nokta $$(-1,8,5)$$ bulunur. Orijine olan uzaklığı ise $$\sqrt{1^2+8^2+5^2}=3\sqrt{10}$$ bulunur.

Örnek 3

\(d_1:X=(2,0,1)+k(1,-1,2)\) ve \(d_2:X=(1,-1,3)+m(-1,1,-2)\) doğrularının her ikisine de dik olan ve \((4,-2,5)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm

Doğruların doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{u_1}=(1,-1,2)\) ve \(\overrightarrow{u_2}=(-1,1,-2)\) için \(\overrightarrow{u_1}=-\overrightarrow{u_2}\) olduğundan lineer bağımlıdırlar. Ayrıca doğruların sabit noktaları \(A(2,0,1)\) ve \(B(1,-1,3)\) için \(\overrightarrow{AB}=(-1,-1,2)\) bu vektörlerden herhangi biri ile lineer bağımsızdır. O halde doğrular paraleldir. Aradığımız doğru da bu paralel doğrulara dik olan bir doğrudur. Bu doğrunun doğrultu vektörünü bulmak için ikinci doğru üzerinde (birinci doğru üzerinde de alınabilirdi) \(m\in R\) için öyle bir \(C(1-m,-1+m,3-2m)\) noktası alalım ki $$\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{u_1}$$ olsun. Böylece \(\overrightarrow{AC}\) aradığımız doğrunun doğrultu vektörü olur. Şimdi işlem kısmına gelelim $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(-1-m,-1+m,2-2m)$$ dir. Vektörlerin diklik koşulu gereği $$\begin{matrix}<\overrightarrow{AC},\overrightarrow{u_1}>=0\\\\ \Rightarrow -1-m+1-m+4-4m=0\\\\\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}\end{matrix}$$ bulunur. O halde doğrunun doğrultu vektörü $$\overrightarrow{AC}=(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})$$ bulunur. Rasyonel durumdan kurtulmak için \(3\) ile genişletelim ve genel olarak vektöre \(\overrightarrow{u}=(-5,-1,2)\) dersek, istenilen doğrunun denklemi $$X=(4,-2,5)+k(-5,-1,2)$$ bulunur. Aşağıdaki videoda durumu inceleyebilirsiniz. 

Video burada görüntülenecektir.

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(11 oy)
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon