Watewatik

1.4.12 Dış (Vektörel) Çarpım

\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) verilsin.

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$

biçiminde tanımlanan \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) vektörüne \(\overrightarrow{a}\) ile \(\overrightarrow{b}\) nün dış çarpım vektörü denir. Dikkat ederseniz iki vektörün iç çarpımı bir gerçek sayı iken dış çarpımı bir vektördür. Biraz karışık gibi duran bu tanımı aşağıdaki gibi düzenleyebiliriz:

$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}\begin{vmatrix}a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix}-\overrightarrow{e_2}\begin{vmatrix}a_1 &a_3 \\ b_1 &b_3 \end{vmatrix}+\overrightarrow{e_3}\begin{vmatrix}a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix}$$ daha karışık gözükmüş olabilir ama determinant konusu iyi hatırlanırsa aslında bu yazılan ifadenin $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ a_1 &a_2  &a_3 \\ b_1 &b_2  &b_3 \end{vmatrix}$$ olduğu görülür.

Örnek 1

\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(2,1,0)\) ve \(\overrightarrow{b}=(-1,3,0)\) için \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) dış çarpım vektörünü bulalım:

 

Çözüm

Verilen vektörleri 3 lü determinantta yerine yazalım: $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} & \overrightarrow{e_2} &\overrightarrow{e_3} \\ 2 &1 &0 \\ -1 &3 &0 \end{vmatrix}$$ yani $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{e_1}\begin{vmatrix}1 &0 \\ 3 &0 \end{vmatrix}-\overrightarrow{e_2}\begin{vmatrix}2 &0 \\ -1 &0 \end{vmatrix}+\overrightarrow{e_3}\begin{vmatrix}2 &1 \\ -1 &3 \end{vmatrix}$$ $$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=7\overrightarrow{e_3}=(0,0,7)$$ bulunur.

Bu dış çarpımı aşağıdaki \(XYZ\) sisteminde incelersek; \(xy\) düzleminde bulunan \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) nün dış çarpımı bu iki vektöre de dik olan \((0,0,7)\) koordinatlı vektördür.
Yukarıdaki örnekte vurguladığımız dış çarpım vektörünün çarpılan vektörlere dik oluşu aslında çarpılan lineer bağımsız her iki vektör için geçerlidir.  \(\overrightarrow{a}\) ve  \(\overrightarrow{b}\) vektörel çarpılırken çarpım sırasına göre ilk vektörden ikinci vektöre doğru saatin tersi (pozitif) yönde bir açı yapılıyorsa (soldaki şekil gibi)  \(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\) bu vektörlerin üstünde kalırken; saat yönünde (negatif) bir açı yapılıyorsa (sağdaki şekil gibi) \(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\) bu vektörlerin altında kalır. Bu durum Fizik dersinde sağ el kuralı olarak isimlendirilir. Sağ elimizi, baş parmağımız diğerlerine dik olacak biçimde, açarız. Baş parmak dışında kalan parmaklarımızı dönme yönünü gösterecek biçimde avuç içimize doğru büktüğümüz zaman baş parmağımız dış çarpım vektörünün yönünü gösterir. 

Aşağıdaki şekildeki vektörlerin uç noktlarını hareket ettirerek dış çarpım vektörünün nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Özellikleri

\(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) ve \(\overrightarrow{c}\) ile \(k\in R\) verilsin. Bu durumda

1. \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}\)

2. \((k.\overrightarrow{a})\times\overrightarrow{b}=k.(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}\times (k.\overrightarrow{b})\)

3. \(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\)

4. \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}\)

5. \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>\)

\(\overrightarrow{e_1}=(1,0,0)\), \(\overrightarrow{e_2}=(0,1,0)\) ve \(\overrightarrow{e_3}=(0,0,1)\) temel birim vektörleri için

6. \(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\)

7. \(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}\)

8. \(\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\)

Örnek 1

\(\overrightarrow{a}=(-1,2,4)\), \(\overrightarrow{b}=(3,0,2)\) ve \(\overrightarrow{c}=(k,1,-1)\) için \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}=(-2,17,b)\) olduğuna göre \(b\) kaçtır?

Çözüm 1

3. özellik gereği \(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) olacağından öncelikle \(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) nü bulalım: $$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(3+k,1,1)$$ olur. O halde $$\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}  &\overrightarrow{e_3} \\-1 &2  &4 \\3+k &1  &1\end{vmatrix}=(-2,13+4k,-7-2k)$$ bulunur. Demek ki \((-2,17,b)=(-2,13+4k,-7-2k)\) olacaktır. Bu eşitlikten \(k=1\) çıkar. Yerine yazılırsa \(b=-9\) bulunur.

 

Örnek 2

\(\overrightarrow{a}=(-5,2,-3)\) ve \(\overrightarrow{e_1}\) ile \(\overrightarrow{e_2}\) temel birim vektörler olmak üzere \(<\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{a}>\) iç çarpımının sonucu kaçtır?

Çözüm 2

5. özellik gereği \(<\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{a}>=<\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{a}>\) olacaktır. Fakat 6. özellik gereği de \(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\) olacağından $$<\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{a}>=<\overrightarrow{e_3},\overrightarrow{a}>=0.(-5)+0.2+1.(-3)=-3$$ bulunur.

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(26 oy)
5 yorum
  • Ahmet

    Çok teşekkür ederim. Mükemmel olmuş

    Ahmet Yorum Linki
  • Murat Çiftci

    Teşekkür

    Murat Çiftci Yorum Linki
  • cafer

    ben böyle bir hizmet ilk defa görüyorum. Emeğine sağlık kardeşim...

    cafer Yorum Linki
  • Arif

    kardeşim efsane bi sayfa efsane bi anlatım olmuş eline emeğine sağlık :)

    Arif Yorum Linki
  • aşkın

    harikasın kardeş sen bu işi MÜKEMMEL yaptın.

    aşkın Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon