Watewatik

1.4.6 Öklid (Euclides) İç Çarpımı

Düzlemde olduğu gibi uzayda da Öklid iç çarpımı aşağıdaki biçimde tanımlanır.

\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)\) ve \(\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)\) verilsin.

$$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

Yani vektörlerin aynı tür koordinatları birbiriyle çarpılıp toplanır. Dikkat ederseniz vektörlerin iç çarpımının sonucu bir gerçel sayıdır. 

Örnek 1

\(XYZ\) koordinat sisteminde \(\overrightarrow{a}=(2,-3,-1)\) ve \(\overrightarrow{b}=(9,0,-6)\) için \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>\) iç çarpımının değerini bulalım:

 

Çözüm

 \(<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=2.9+(-3).0+(-1).(-6)=24\) bulunur.

Öklid iç çarpımının özellikleri:

\(\forall \overrightarrow{a}\),\(\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{c}\in R^3\) ve \(\forall \lambda \in R\) için

1. Değişme özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}>$$

2. Vektörün kendisiyle iç çarpımı, uzunluğunun karesine eşittir.$$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}>=||\overrightarrow{a}||^2$$

3. Dağılma özelliği $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$
Benzer biçimde 
$$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ dir.

4. Çarpılan vektörlerden herhangi birinin önündeki skaler iç çarpımın dışına alınabilir, dışındaki skaler çarpanda içeri alınabilir, fakat bu işlem yapılırken vektörlerden sadece biri skalerle çarpılır. $$<\lambda \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{a},\lambda\overrightarrow{b}>$$

5. Üçüncü ve dördüncü özellikleri birlikte düşünürsek $$<\lambda \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>=\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}>$$ ve $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\lambda \overrightarrow{c}>= <\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+\lambda <\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}>$$ 

Verilen bu özelliklerden yola çıkarak iç çarpımın önemli sonuçlarından birini elde edelim:

Uzayda verilen \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) için 2.özellik gereği $$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||^2$$ olur. 3. özellik gereği de $$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}>=<\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}>+<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}>+<\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}>$$ yani $$<\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ dir. O halde $$||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2+2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ dir. Benzer biçimde $$||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}||^2=||\overrightarrow{a}||^2-2<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>+||\overrightarrow{b}||^2$$ olacaktır.
Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(29 oy)
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon