Watewatik

1.3.6 Lineer Bağımlı ve Bağımsız Vektörler

Uzayda verilen ikili, üçlü veya dörtlü vektör gruplarının lineer bağımlı/bağımsız olması herhangi birinin diğerleri türünden yazılıp yazılmayacağına bağlıdır. Bu üç grubu inceleyelim:

İki vektörün lineer bağımlı/bağımsız olması

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1}\) ve \(\overrightarrow{v_2}\) vektörlerinin doğrultuları aynı olursa birbiri türünden yazılabilirler. Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında 

$$\overrightarrow{v_1}=-2\overrightarrow{v_2}$$

dir.
Bu nedenle bu iki vektör lineer bağımlıdır. Özetle doğrultuları aynı olan iki vektör lineer bağımlıdır.

 

Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında verilen \(\overrightarrow{u_1}\) ve \(\overrightarrow{u_2}\) vektörlerinin doğrultuları farklı olduğundan birbiri türünden yazılamazlar. Bu nedenle bu iki vektör lineer bağımsızdır. Özetle doğrultuları farklı olan iki vektör lineer bağımsızdır.

Üç vektörün lineer bağımlı/bağımsız olması

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) vektörleri ve \(k_1,k_2\in\mathbb{R}\) için 

$$\overrightarrow{v_3}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}$$

eşitliği sağlanıyorsa bu vektör üçlüsü lineer bağımlıdır. Aşağıdaki dikdörtgenler prizmasında

$$2\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}\Rightarrow\overrightarrow{v_3}=\frac{1}{2}\overrightarrow{v_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{v_2}$$ 

olduğundan bu üç vektör lineer bağımlıdır.

Şekildeki vektörlere dikkat edilirse üçününde doğrultuları farklıdır. Fakat bu üç vektör \((ABG)\) düzlemindedir. Şöyle bir genelleme yapabiliriz; ikişer ikişer doğrultuları farklı lineer bağımlı üç vektör aynı düzlemdedir. Her üçünün de doğrultuları aynı olursa lineer bağımlı olacakları açıktır. Herhangi ikisinin aynı doğrultuda diğerinin ise farklı doğrultuda olduğunu varsayalım. Bu durumda da lineer bağımlı bir üçlü oluşturacaklardır. Örneğin \(\overrightarrow{v_2}\) ve \(\overrightarrow{v_3}\) aynı doğrultulu, \(\overrightarrow{v_1}\) farklı doğrultuda olsun. Bu durumda bir \(k\in\mathbb{R}\) için \(\overrightarrow{v_3}=k\overrightarrow{v_2}\) olacağından 

$$\overrightarrow{v_3}=0\overrightarrow{v_1}+k\overrightarrow{v_2}$$

olacaktır.

Eğer

$$\overrightarrow{v_3}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}$$

olacak biçimde \(k_1,k_2\in\mathbb{R}\) değerleri bulunamıyorsa vektörler lineer bağımsız olacaklardır. Yani herhangi biri diğer ikisi türünden yazılamayacaktır. Lineer bağımsız üç vektör uzayda başlangıç noktaları aynı yapıldıktan sonra aynı düzlemde bulunmazlar. Aşağıdaki prizmada bu durum örneklenmiştir. Şekilde \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) ve \(\overrightarrow{w}\) vektörleri lineer bağımsız bir vektör üçlüsüdür. Üçü birden aynı düzlemde bulunmazlar.

Dört vektörün lineer bağımlı olması

Uzayda verilen lineer bağımsız \(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\), ve \(\overrightarrow{v_3}\) vektörlerini herhangi bir skalerle çarpıp toplarsak elde edeceğimiz toplam vektörü ile uzayın herhangi bir noktasını eşleyebiliriz. Bu nedenle bu üç vektör arasına ekleyeceğimiz herhangi bir \(\overrightarrow{v_4}\) vektörünü \(k_1,k_2,k_3\in\mathbb{R}\) için 

$$\overrightarrow{v_4}=k_1\overrightarrow{v_1}+k_2\overrightarrow{v_2}+k_3\overrightarrow{v_3}$$

biçiminde yazabiliriz. O halde bu dört vektör lineer bağımlı olur. Özetle uzayda verilen herhangi bir vektör dörtlüsü daima lineer bağımlıdır.

 

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(10 oy)
1 yorum
  • ugur

    paralelyüz hacmi,vektörel carpım yokmu benmi bulamadım acep.

    ugur Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon